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在前边的课程中，咱们先容了正交变换，本文咱们学习另外一种线性变换，这等于都聚积的缩放变换。缩放变换在机器视觉范围被平庸诈欺。

缩放变换的基本见解

缩放变换，顾名想义，是指对空间中的点或向量按照一定比例进行放大或消弱的操作。在二维平面上，这种变换不错区别沿着x轴和y轴标的进行；在三维空间中，则扩张到x、y、z三个标的。数学上，缩放变换不错通过矩阵乘法来暗示，其中缩放矩阵的对角线元素代表各个方进取的缩放比例，非对角线元素为零。

设有一缩放矩阵S，关于二维空间：

其中，sx和 sy区别是x轴和y轴方进取的缩放因子。关于三维空间，则相应地增多一个z轴标的的缩放因子：

给定空间中的小数P(x, y)（或P(x, y, z)在三维情况下），其经由缩放变换后的新位置P'可通过如下公式策画：

即，将点P的坐标视为列向量，与缩放矩阵S相乘获取新的坐标向量P'。

例如

如上所示矩阵A等于二维空间的缩放矩阵，该矩阵是一个对角矩阵，对角线元素为在该方进取的拉伸倍数，如若是负数，那么暗示反向。

该矩阵不错将二维向量在x1标的拉伸2倍，在x2标的拉伸3倍。如下所示：

缩放变换的性质

线性性：缩放变换保捏向量的加法和数乘运算不变，即关于随性向量v和w，以及随性标量k，有S(v+w)=Sv+Sw 和 S(kv)=k(Sv)。这是线性变换的基本特征。

保捏标的性：缩放变换不改变向量的标的，只改变其长度。因此，所有与原向量共线的向量在变换后仍共线。

原点固定：缩放变换以原点为中心进行，原点本人在变换前后位置不变。

可逆性：只好缩放因子不为零，缩放变换是可逆的。逆变换只需将各缩放因子取倒数即可。

不同维度空间中的缩放变换

二维空间：在二维平面上，缩放变换不错直不雅地表露为图形的拉伸或压缩。例如，当sx>1且sy=1时，图形在x方进取被拉长；当sx<1且sy=1时，则在x方进取被压缩。

三维空间：三维空间中的缩放变换愈加复杂多变，不仅波及长度的变化，还相干到体积的变化。通过改换三个标的的缩放因子，不错创造出各式方式的几何体，如球体变为椭球体，立方体变为长方体等。

高维空间：天然高维空间难以直不雅遐想，但缩放变换的道理如故适用。在高维数据中开云kaiyun.com，每个维度都不错独当场进行缩放，这关于处罚多维数据集具有病笃道理。